大阪大学　数理・データ科学教育研究センター
Center for Mathematical Modeling and Data Science,The University of Osaka

Conditions for existence of solutions to the Monge problem on the embedded sphere with Euclidean distance squared cost

北川　潤 (Princeton University, the University of British Columbia)

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大阪大学 金融・保険セミナーシリーズ 第37回(CSFI-CRESTジョイントセミナー)

Conditions for existence of solutions to the Monge problem on the embedded sphere with Euclidean distance squared cost

北川　潤 (Princeton University, the University of British Columbia)

最適輸送問題（Monge問題）とは、二つの測度空間を与えられた場合、その直積上で定義されたコスト函数を最小化するようなmeasure preserving写像を求めるものである。この問題は１８世紀にG. Mongeによって提起されたものであるが、１９４０年代にL. Kantorovichにより拡張されたのち、１９９０年代に入ってから爆発的な進展をとげている。Monge問題は偏微分方程式、幾何学、確率論などに関連性があるが、経済、視覚情報処理などの数学以外の分野にも多くの応用が見られる。

本講演の前半ではMongeおよびKantorovich問題の存在などに関する基本的な理論を紹介する。また、正則性の研究において重要な役割をもつMonge-Ampere型偏微分方程式との関係も導く。後半では一つの例としてn次元の球面上でのn+1次元のユークリッド距離の二乗をコストとした場合を挙げる。この場合、W. GangboとR. McCannによってKantorovich問題の解は唯一存在することが証明されているが、同時に（Twistと呼ばれる条件をコストが満たさないため）、従来の条件のもとでもMonge問題の解が存在しない例題があげられている。ここで、球面上で与えられた二つの測度に条件を加える事でMonge問題の解の存在を導く事ができることを紹介する。後半の内容はプリンストン大学のM. Warrenとの共著を元としている。